Derivada de y=tgx×x^5

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = x^{5}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

   Como resultado de: $\frac{x^{5} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 5 x^{4} \tan{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{4} \left(x + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(x + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$