Derivada de y=5/7x^7*cosx

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 5 x^{7} \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 7$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x^{7}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{7}$ tenemos $7 x^{6}$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- x^{7} \sin{\left(x \right)} + 7 x^{6} \cos{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 5 x^{7} \sin{\left(x \right)} + 35 x^{6} \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $7$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $- \frac{5 x^{7} \sin{\left(x \right)}}{7} + 5 x^{6} \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{5 x^{6} \left(- x \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}\right)}{7}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{6} \left(- x \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}\right)}{7}$