Derivada de y=2tg(x+(п/4))

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + \frac{\pi}{4}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:

         1. diferenciamos $x + \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $\frac{\pi}{4}$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + \frac{\pi}{4}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:

         1. diferenciamos $x + \frac{\pi}{4}$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $\frac{\pi}{4}$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4}{1 - \sin{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4}{1 - \sin{\left(2 x \right)}}$