Derivada de y=tg^7lnx+sqrtctg5x

Solución

Ha introducido [src]

   7              2         
tan (x)*log(x) + t *cot(5*x)

$$t^{2} \cot{\left(5 x \right)} + \log{\left(x \right)} \tan^{7}{\left(x \right)}$$

tan(x)^7*log(x) + t^2*cot(5*x)

Solución detallada

diferenciamos $t^{2} \cot{\left(5 x \right)} + \log{\left(x \right)} \tan^{7}{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = \tan^{7}{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  2. Según el principio, aplicamos: $u^{7}$ tenemos $7 u^{6}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Como resultado de: $\frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)} \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x}$
2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
  1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
    Method #1
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(5 x \right)}}$
    2. Sustituimos $u = \tan{\left(5 x \right)}$ .
    3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 5 x$ .
      
      $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{5}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}}$
    Method #2
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 5 x$ .
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 5 x$ .
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $5 \cos{\left(5 x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{- 5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$
  Entonces, como resultado: $- \frac{t^{2} \left(5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}}$
Como resultado de: $- \frac{t^{2} \left(5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)} \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x}$
Simplificamos:

$- \frac{5 t^{2}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{7 \log{\left(x \right)} \sin^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{8}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x}$

Respuesta:

$- \frac{5 t^{2}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{7 \log{\left(x \right)} \sin^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{8}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x}$

Primera derivada [src]

                           7                                    
 2 /          2     \   tan (x)      6    /         2   \       
t *\-5 - 5*cot (5*x)/ + ------- + tan (x)*\7 + 7*tan (x)/*log(x)
                           x

$$t^{2} \left(- 5 \cot^{2}{\left(5 x \right)} - 5\right) + \left(7 \tan^{2}{\left(x \right)} + 7\right) \log{\left(x \right)} \tan^{6}{\left(x \right)} + \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x}$$

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Segunda derivada [src]

     7            6    /       2   \                                                     2                                                
  tan (x)   14*tan (x)*\1 + tan (x)/         7    /       2   \             /       2   \     5                 2 /       2     \         
- ------- + ------------------------ + 14*tan (x)*\1 + tan (x)/*log(x) + 42*\1 + tan (x)/ *tan (x)*log(x) + 50*t *\1 + cot (5*x)/*cot(5*x)
      2                x                                                                                                                  
     x

$$50 t^{2} \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x \right)} + 42 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} \tan^{5}{\left(x \right)} + 14 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} \tan^{7}{\left(x \right)} + \frac{14 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

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Tercera derivada [src]

                                                                                                                                                                                    2                                                                                
                        2        7                                               6    /       2   \                                           7    /       2   \       /       2   \     5                       3                                   2               
       2 /       2     \    2*tan (x)        2    2      /       2     \   21*tan (x)*\1 + tan (x)/         8    /       2   \          42*tan (x)*\1 + tan (x)/   126*\1 + tan (x)/ *tan (x)       /       2   \     4                 /       2   \     6          
- 250*t *\1 + cot (5*x)/  + --------- - 500*t *cot (5*x)*\1 + cot (5*x)/ - ------------------------ + 28*tan (x)*\1 + tan (x)/*log(x) + ------------------------ + -------------------------- + 210*\1 + tan (x)/ *tan (x)*log(x) + 266*\1 + tan (x)/ *tan (x)*log(x)
                                 3                                                     2                                                           x                           x                                                                                     
                                x                                                     x

$$- 250 t^{2} \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)^{2} - 500 t^{2} \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(5 x \right)} + 210 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \log{\left(x \right)} \tan^{4}{\left(x \right)} + 266 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} \tan^{6}{\left(x \right)} + 28 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} \tan^{8}{\left(x \right)} + \frac{126 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{5}{\left(x \right)}}{x} + \frac{42 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{7}{\left(x \right)}}{x} - \frac{21 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \tan^{7}{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

Simplificar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=tg^7lnx+sqrtctg5x

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2