Derivada de y=3x⁴+cosx-ctgx+1

1. diferenciamos $\left(\left(3 x^{4} + \cos{\left(x \right)}\right) - \cot{\left(x \right)}\right) + 1$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(3 x^{4} + \cos{\left(x \right)}\right) - \cot{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $3 x^{4} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

            Entonces, como resultado: $12 x^{3}$

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $12 x^{3} - \sin{\left(x \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

            Method #1

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

            2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

            3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

            Method #2

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Como resultado de: $12 x^{3} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}$

   2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $12 x^{3} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $12 x^{3} - \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$12 x^{3} - \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$