Sr Examen

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Derivada de la función/ ctg^2/ tg^2(3x)/ y=2^(ctg^2(3x))

Derivada de y=2^(ctg^2(3x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    2     
 cot (3*x)
2
2cot⁡2(3x)2^{\cot^{2}{\left(3 x \right)}} 
2^(cot(3*x)^2)
Solución detallada

  1. Sustituimos u=cot⁡2(3x)u = \cot^{2}{\left(3 x \right)}.

  2. ddu2u=2ulog⁡(2)\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡2(3x)\frac{d}{d x} \cot^{2}{\left(3 x \right)}:

    1. Sustituimos u=cot⁡(3x)u = \cot{\left(3 x \right)}.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(3x)\frac{d}{d x} \cot{\left(3 x \right)}:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(3x)=1tan⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(3x)u = \tan{\left(3 x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(3x)\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(3x)=sin⁡(3x)cos⁡(3x)\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} y g(x)=cos⁡(3x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 33

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              3cos⁡(3x)3 \cos{\left(3 x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 33

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −3sin⁡(3x)- 3 \sin{\left(3 x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            3sin⁡2(3x)+3cos⁡2(3x)cos⁡2(3x)\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −3sin⁡2(3x)+3cos⁡2(3x)cos⁡2(3x)tan⁡2(3x)- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(3x)=cos⁡(3x)sin⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)} y g(x)=sin⁡(3x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 33

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −3sin⁡(3x)- 3 \sin{\left(3 x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 33

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            3cos⁡(3x)3 \cos{\left(3 x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −3sin⁡2(3x)−3cos⁡2(3x)sin⁡2(3x)\frac{- 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −2(3sin⁡2(3x)+3cos⁡2(3x))cot⁡(3x)cos⁡2(3x)tan⁡2(3x)- \frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cot{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −2⋅2cot⁡2(3x)(3sin⁡2(3x)+3cos⁡2(3x))log⁡(2)cot⁡(3x)cos⁡2(3x)tan⁡2(3x)- \frac{2 \cdot 2^{\cot^{2}{\left(3 x \right)}} \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}

  4. Simplificamos:

    −6⋅21tan⁡2(3x)log⁡(2)cos⁡(3x)sin⁡3(3x)- \frac{6 \cdot 2^{\frac{1}{\tan^{2}{\left(3 x \right)}}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}

Respuesta:

−6⋅21tan⁡2(3x)log⁡(2)cos⁡(3x)sin⁡3(3x)- \frac{6 \cdot 2^{\frac{1}{\tan^{2}{\left(3 x \right)}}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}

Primera derivada [src] 
    2                                        
 cot (3*x) /          2     \                
2         *\-6 - 6*cot (3*x)/*cot(3*x)*log(2)
2cot⁡2(3x)(−6cot⁡2(3x)−6)log⁡(2)cot⁡(3x)2^{\cot^{2}{\left(3 x \right)}} \left(- 6 \cot^{2}{\left(3 x \right)} - 6\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(3 x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
       2                                                                                   
    cot (3*x) /       2     \ /         2             2      /       2     \       \       
18*2         *\1 + cot (3*x)/*\1 + 3*cot (3*x) + 2*cot (3*x)*\1 + cot (3*x)/*log(2)/*log(2)
18⋅2cot⁡2(3x)(cot⁡2(3x)+1)(2(cot⁡2(3x)+1)log⁡(2)cot⁡2(3x)+3cot⁡2(3x)+1)log⁡(2)18 \cdot 2^{\cot^{2}{\left(3 x \right)}} \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(2 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
         2                      /                                   2                           2                                                       \                
      cot (3*x) /       2     \ |         2          /       2     \             /       2     \     2         2           2      /       2     \       |                
-108*2         *\1 + cot (3*x)/*\4 + 6*cot (3*x) + 3*\1 + cot (3*x)/ *log(2) + 2*\1 + cot (3*x)/ *cot (3*x)*log (2) + 6*cot (3*x)*\1 + cot (3*x)/*log(2)/*cot(3*x)*log(2)
−108⋅2cot⁡2(3x)(cot⁡2(3x)+1)(2(cot⁡2(3x)+1)2log⁡(2)2cot⁡2(3x)+3(cot⁡2(3x)+1)2log⁡(2)+6(cot⁡2(3x)+1)log⁡(2)cot⁡2(3x)+6cot⁡2(3x)+4)log⁡(2)cot⁡(3x)- 108 \cdot 2^{\cot^{2}{\left(3 x \right)}} \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(2 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} \cot^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)} + 6 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot^{2}{\left(3 x \right)} + 6 \cot^{2}{\left(3 x \right)} + 4\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(3 x \right)}
Simplificar
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