Derivada de (x^-x+2)/(x^3+4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 2 x^{x} + 1$ y $g{\left(x \right)} = x^{x} \left(x^{3} + 4\right)$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 x^{x} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. No logro encontrar los pasos en la búsqueda de esta derivada.

            Perola derivada

            $x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$

         Entonces, como resultado: $2 x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$

      Como resultado de: $2 x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. No logro encontrar los pasos en la búsqueda de esta derivada.

         Perola derivada

         $x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$

      $g{\left(x \right)} = x^{3} + 4$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x^{3} + 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Como resultado de: $3 x^{2}$

      Como resultado de: $3 x^{2} x^{x} + x^{x} \left(x^{3} + 4\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x^{- 2 x} \left(2 x^{2 x} \left(x^{3} + 4\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) - \left(2 x^{x} + 1\right) \left(3 x^{2} x^{x} + x^{x} \left(x^{3} + 4\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)\right)\right)}{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{x^{- x} \left(x^{3} \log{\left(x \right)} + x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{x + 2} + 4 \log{\left(x \right)} + 4\right)}{x^{6} + 8 x^{3} + 16}$

Respuesta:

$- \frac{x^{- x} \left(x^{3} \log{\left(x \right)} + x^{3} + 3 x^{2} + 6 x^{x + 2} + 4 \log{\left(x \right)} + 4\right)}{x^{6} + 8 x^{3} + 16}$