Derivada de y=ctg5x/ln2x

Solución

Ha introducido [src]

cot(5*x)
--------
log(2*x)

$$\frac{\cot{\left(5 x \right)}}{\log{\left(2 x \right)}}$$

cot(5*x)/log(2*x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cot{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(5 x \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(5 x \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 5 x$ .
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $5 \cos{\left(5 x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 5 x$ .
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = 5 x$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = 5 x$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $5$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $5 \cos{\left(5 x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- 5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = 2 x$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $2$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{1}{x}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{\left(5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{\cot{\left(5 x \right)}}{x}}{\log{\left(2 x \right)}^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{10 x \log{\left(x \right)} + \log{\left(2^{10 x} \right)} + \sin{\left(10 x \right)}}{x \left(\cos{\left(10 x \right)} - 1\right) \log{\left(2 x \right)}^{2}}$

Respuesta:

$\frac{10 x \log{\left(x \right)} + \log{\left(2^{10 x} \right)} + \sin{\left(10 x \right)}}{x \left(\cos{\left(10 x \right)} - 1\right) \log{\left(2 x \right)}^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

          2                   
-5 - 5*cot (5*x)     cot(5*x) 
---------------- - -----------
    log(2*x)            2     
                   x*log (2*x)

$$\frac{- 5 \cot^{2}{\left(5 x \right)} - 5}{\log{\left(2 x \right)}} - \frac{\cot{\left(5 x \right)}}{x \log{\left(2 x \right)}^{2}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                                                   /       2    \         
                                 /       2     \   |1 + --------|*cot(5*x)
   /       2     \            10*\1 + cot (5*x)/   \    log(2*x)/         
50*\1 + cot (5*x)/*cot(5*x) + ------------------ + -----------------------
                                  x*log(2*x)              2               
                                                         x *log(2*x)      
--------------------------------------------------------------------------
                                 log(2*x)

$$\frac{50 \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x \right)} + \frac{10 \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)}{x \log{\left(2 x \right)}} + \frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x \right)}}\right) \cot{\left(5 x \right)}}{x^{2} \log{\left(2 x \right)}}}{\log{\left(2 x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

 /                                          /       3           3    \                                                                            \ 
 |                                        2*|1 + -------- + ---------|*cot(5*x)      /       2     \ /       2    \                               | 
 |                                          |    log(2*x)      2     |            15*\1 + cot (5*x)/*|1 + --------|       /       2     \         | 
 |    /       2     \ /         2     \     \               log (2*x)/                               \    log(2*x)/   150*\1 + cot (5*x)/*cot(5*x)| 
-|250*\1 + cot (5*x)/*\1 + 3*cot (5*x)/ + ------------------------------------- + --------------------------------- + ----------------------------| 
 |                                                      3                                     2                                x*log(2*x)         | 
 \                                                     x *log(2*x)                           x *log(2*x)                                          / 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                      log(2*x)

$$- \frac{250 \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) + \frac{150 \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right) \cot{\left(5 x \right)}}{x \log{\left(2 x \right)}} + \frac{15 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x \right)}}\right) \left(\cot^{2}{\left(5 x \right)} + 1\right)}{x^{2} \log{\left(2 x \right)}} + \frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(2 x \right)}} + \frac{3}{\log{\left(2 x \right)}^{2}}\right) \cot{\left(5 x \right)}}{x^{3} \log{\left(2 x \right)}}}{\log{\left(2 x \right)}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=ctg5x/ln2x

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2