Derivada de e^(sin5x)*cosx

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(5 x \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \cos{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 e^{\sin{\left(5 x \right)}} \cos{\left(5 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- e^{\sin{\left(5 x \right)}} \sin{\left(x \right)} + 5 e^{\sin{\left(5 x \right)}} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{\sin{\left(5 x \right)}}$

Respuesta:

$\left(- \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{\sin{\left(5 x \right)}}$