Sr Examen

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(z-i)^2*z^2/(z^2+1)^2
Derivada de la función/ z^2+1/ (z-i)/ (z-i)^2*z^2/(z^2+1)^2

Derivada de (z-i)^2*z^2/(z^2+1)^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       2  2
(z - I) *z 
-----------
         2 
 / 2    \  
 \z  + 1/
z2(z−i)2(z2+1)2\frac{z^{2} \left(z - i\right)^{2}}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}} 
((z - i)^2*z^2)/(z^2 + 1)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=z2(z−i)2f{\left(z \right)} = z^{2} \left(z - i\right)^{2} y g(z)=(z2+1)2g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 1\right)^{2}.

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}

      f(z)=z2f{\left(z \right)} = z^{2}; calculamos ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

      g(z)=(z−i)2g{\left(z \right)} = \left(z - i\right)^{2}; calculamos ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. Sustituimos u=z−iu = z - i.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z−i)\frac{d}{d z} \left(z - i\right):

        1. diferenciamos z−iz - i miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

          2. La derivada de una constante −i- i es igual a cero.

          Como resultado de: 11

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2z−2i2 z - 2 i

      Como resultado de: z2(2z−2i)+2z(z−i)2z^{2} \left(2 z - 2 i\right) + 2 z \left(z - i\right)^{2}

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Sustituimos u=z2+1u = z^{2} + 1.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z2+1)\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 1\right):

      1. diferenciamos z2+1z^{2} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

        Como resultado de: 2z2 z

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2z(2z2+2)2 z \left(2 z^{2} + 2\right)

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −2z3(z−i)2(2z2+2)+(z2+1)2(z2(2z−2i)+2z(z−i)2)(z2+1)4\frac{- 2 z^{3} \left(z - i\right)^{2} \left(2 z^{2} + 2\right) + \left(z^{2} + 1\right)^{2} \left(z^{2} \left(2 z - 2 i\right) + 2 z \left(z - i\right)^{2}\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    2z(iz3+3z2−3iz−1)z6+3z4+3z2+1\frac{2 z \left(i z^{3} + 3 z^{2} - 3 i z - 1\right)}{z^{6} + 3 z^{4} + 3 z^{2} + 1}

Respuesta:

2z(iz3+3z2−3iz−1)z6+3z4+3z2+1\frac{2 z \left(i z^{3} + 3 z^{2} - 3 i z - 1\right)}{z^{6} + 3 z^{4} + 3 z^{2} + 1}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
 2                           2      3        2
z *(-2*I + 2*z) + 2*z*(z - I)    4*z *(z - I) 
------------------------------ - -------------
                  2                        3  
          / 2    \                 / 2    \   
          \z  + 1/                 \z  + 1/
−4z3(z−i)2(z2+1)3+z2(2z−2i)+2z(z−i)2(z2+1)2- \frac{4 z^{3} \left(z - i\right)^{2}}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{z^{2} \left(2 z - 2 i\right) + 2 z \left(z - i\right)^{2}}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                                                      /         2 \\
  |                                                           2        2 |      6*z  ||
  |                                                        2*z *(z - I) *|-1 + ------||
  |                                 2                                    |          2||
  | 2          2                 8*z *(z - I)*(-I + 2*z)                 \     1 + z /|
2*|z  + (z - I)  + 4*z*(z - I) - ----------------------- + ---------------------------|
  |                                            2                           2          |
  \                                       1 + z                       1 + z           /
---------------------------------------------------------------------------------------
                                               2                                       
                                       /     2\                                        
                                       \1 + z /
2(2z2(z−i)2(6z2z2+1−1)z2+1−8z2(z−i)(2z−i)z2+1+z2+4z(z−i)+(z−i)2)(z2+1)2\frac{2 \left(\frac{2 z^{2} \left(z - i\right)^{2} \left(\frac{6 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right)}{z^{2} + 1} - \frac{8 z^{2} \left(z - i\right) \left(2 z - i\right)}{z^{2} + 1} + z^{2} + 4 z \left(z - i\right) + \left(z - i\right)^{2}\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
   /                                                             /         2 \       /         2 \                   \
   |                                                  3        2 |      8*z  |       |      6*z  |                   |
   |                                               2*z *(z - I) *|-3 + ------|   2*z*|-1 + ------|*(z - I)*(-I + 2*z)|
   |               / 2          2              \                 |          2|       |          2|                   |
   |           2*z*\z  + (z - I)  + 4*z*(z - I)/                 \     1 + z /       \     1 + z /                   |
12*|-I + 2*z - --------------------------------- - --------------------------- + ------------------------------------|
   |                              2                                 2                                2               |
   |                         1 + z                          /     2\                            1 + z                |
   \                                                        \1 + z /                                                 /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              2                                                       
                                                      /     2\                                                        
                                                      \1 + z /
12(−2z3(z−i)2(8z2z2+1−3)(z2+1)2+2z(z−i)(2z−i)(6z2z2+1−1)z2+1+2z−2z(z2+4z(z−i)+(z−i)2)z2+1−i)(z2+1)2\frac{12 \left(- \frac{2 z^{3} \left(z - i\right)^{2} \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 1} - 3\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 z \left(z - i\right) \left(2 z - i\right) \left(\frac{6 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right)}{z^{2} + 1} + 2 z - \frac{2 z \left(z^{2} + 4 z \left(z - i\right) + \left(z - i\right)^{2}\right)}{z^{2} + 1} - i\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (z-i)^2*z^2/(z^2+1)^2
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