Derivada de xlog(x/(a+bx))

Solución

Ha introducido [src]

     /   x   \
x*log|-------|
     \a + b*x/

$$x \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}$$

x*log(x/(a + b*x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{x}{a + b x}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{a + b x}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = a + b x$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. diferenciamos $a + b x$ miembro por miembro:
      1. La derivada de una constante $a$ es igual a cero.
      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
        
        Entonces, como resultado: $b$
      Como resultado de: $b$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{a}{\left(a + b x\right)^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{a}{x \left(a + b x\right)}$
Como resultado de: $\frac{a}{a + b x} + \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}$
Simplificamos:

$\frac{a + \left(a + b x\right) \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}}{a + b x}$

Respuesta:

$\frac{a + \left(a + b x\right) \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}}{a + b x}$

Primera derivada [src]

          /   1         b*x    \      /   x   \
(a + b*x)*|------- - ----------| + log|-------|
          |a + b*x            2|      \a + b*x/
          \          (a + b*x) /

$$\left(a + b x\right) \left(- \frac{b x}{\left(a + b x\right)^{2}} + \frac{1}{a + b x}\right) + \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}$$

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Segunda derivada [src]

/       b*x  \ /  1      b   \
|-1 + -------|*|- - + -------|
\     a + b*x/ \  x   a + b*x/

$$\left(\frac{b}{a + b x} - \frac{1}{x}\right) \left(\frac{b x}{a + b x} - 1\right)$$

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Tercera derivada [src]

               /                      /1      b   \              \
               |             2      3*|- + -------|              |
/       b*x  \ |  2       2*b         \x   a + b*x/       2*b    |
|-1 + -------|*|- -- - ---------- + --------------- - -----------|
\     a + b*x/ |   2            2          x          x*(a + b*x)|
               \  x    (a + b*x)                                 /

$$\left(\frac{b x}{a + b x} - 1\right) \left(- \frac{2 b^{2}}{\left(a + b x\right)^{2}} - \frac{2 b}{x \left(a + b x\right)} + \frac{3 \left(\frac{b}{a + b x} + \frac{1}{x}\right)}{x} - \frac{2}{x^{2}}\right)$$

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