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Derivada de la función/ x*log/ x*log(x/(a+b*x))

Derivada de x*log(x/(a+b*x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   x   \
x*log|-------|
     \a + b*x/
xlog⁡(xa+bx)x \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)} 
x*log(x/(a + b*x))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    g(x)=log⁡(xa+bx)g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=xa+bxu = \frac{x}{a + b x}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂xxa+bx\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{a + b x}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=a+bxg{\left(x \right)} = a + b x.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos a+bxa + b x miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante aa es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: bb

          Como resultado de: bb

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        a(a+bx)2\frac{a}{\left(a + b x\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      ax(a+bx)\frac{a}{x \left(a + b x\right)}

    Como resultado de: aa+bx+log⁡(xa+bx)\frac{a}{a + b x} + \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}

  2. Simplificamos:

    a+(a+bx)log⁡(xa+bx)a+bx\frac{a + \left(a + b x\right) \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}}{a + b x}

Respuesta:

a+(a+bx)log⁡(xa+bx)a+bx\frac{a + \left(a + b x\right) \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}}{a + b x}

Primera derivada [src] 
          /   1         b*x    \      /   x   \
(a + b*x)*|------- - ----------| + log|-------|
          |a + b*x            2|      \a + b*x/
          \          (a + b*x) /
(a+bx)(−bx(a+bx)2+1a+bx)+log⁡(xa+bx)\left(a + b x\right) \left(- \frac{b x}{\left(a + b x\right)^{2}} + \frac{1}{a + b x}\right) + \log{\left(\frac{x}{a + b x} \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
/       b*x  \ /  1      b   \
|-1 + -------|*|- - + -------|
\     a + b*x/ \  x   a + b*x/
(ba+bx−1x)(bxa+bx−1)\left(\frac{b}{a + b x} - \frac{1}{x}\right) \left(\frac{b x}{a + b x} - 1\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
               /                      /1      b   \              \
               |             2      3*|- + -------|              |
/       b*x  \ |  2       2*b         \x   a + b*x/       2*b    |
|-1 + -------|*|- -- - ---------- + --------------- - -----------|
\     a + b*x/ |   2            2          x          x*(a + b*x)|
               \  x    (a + b*x)                                 /
(bxa+bx−1)(−2b2(a+bx)2−2bx(a+bx)+3(ba+bx+1x)x−2x2)\left(\frac{b x}{a + b x} - 1\right) \left(- \frac{2 b^{2}}{\left(a + b x\right)^{2}} - \frac{2 b}{x \left(a + b x\right)} + \frac{3 \left(\frac{b}{a + b x} + \frac{1}{x}\right)}{x} - \frac{2}{x^{2}}\right)
Simplificar
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