Derivada de y=(sin2x+3)^4

1. Sustituimos $u = \sin{\left(2 x \right)} + 3$.

2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3\right)$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(2 x \right)} + 3$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      4. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

      Como resultado de: $2 \cos{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $8 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3\right)^{3} \cos{\left(2 x \right)}$

4. Simplificamos:

   $8 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3\right)^{3} \cos{\left(2 x \right)}$

Respuesta:

$8 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3\right)^{3} \cos{\left(2 x \right)}$