Derivada de y=(x-1)(x-4)/(x-2)(x-3)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = x - 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      $g{\left(x \right)} = x - 4$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-4$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      $h{\left(x \right)} = x - 3$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x - 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 3\right) \left(x - 1\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x - 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 2\right) \left(\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) + \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 3\right) \left(x - 1\right)\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 13\right)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 13\right)}{x^{2} - 4 x + 4}$