Derivada de y=ctg5x/2-2/3x-1+п

1. diferenciamos $\left(\left(- \frac{2 x}{3} + \frac{\cot{\left(5 x \right)}}{2}\right) - 1\right) + \pi$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(- \frac{2 x}{3} + \frac{\cot{\left(5 x \right)}}{2}\right) - 1$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $- \frac{2 x}{3} + \frac{\cot{\left(5 x \right)}}{2}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

               Method #1

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(5 x \right)}}$

               2. Sustituimos $u = \tan{\left(5 x \right)}$.

               3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

               4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(5 x \right)}$:

                  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                     $\tan{\left(5 x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\cos{\left(5 x \right)}}$

                  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                     $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                     $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$.

                     Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                     1. Sustituimos $u = 5 x$.

                     2. La derivada del seno es igual al coseno:

                        $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

                     3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

                        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                           1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                           Entonces, como resultado: $5$

                        Como resultado de la secuencia de reglas:

                        $5 \cos{\left(5 x \right)}$

                     Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                     1. Sustituimos $u = 5 x$.

                     2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                        $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

                     3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

                        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                           1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                           Entonces, como resultado: $5$

                        Como resultado de la secuencia de reglas:

                        $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

                     Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                     $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}}$

               Method #2

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\cot{\left(5 x \right)} = \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 5 x$.

                  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $5$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 5 x$.

                  2. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $5$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $5 \cos{\left(5 x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{- 5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $- \frac{2}{3}$

         Como resultado de: $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{2}{3}$

      2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{2}{3}$

   2. La derivada de una constante $\pi$ es igual a cero.

   Como resultado de: $- \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)} \tan^{2}{\left(5 x \right)}} - \frac{2}{3}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{2}{3} - \frac{5}{2 \sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{2}{3} - \frac{5}{2 \sin^{2}{\left(5 x \right)}}$