Derivada de y=tg(e^(2x+1))

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(e^{2 x + 1} \right)} = \frac{\sin{\left(e^{2 x + 1} \right)}}{\cos{\left(e^{2 x + 1} \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{2 x + 1} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{2 x + 1} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{2 x + 1}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{2 x + 1}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 e^{2 x + 1}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 e^{2 x + 1} \cos{\left(e^{2 x + 1} \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{2 x + 1}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{2 x + 1}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 e^{2 x + 1}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 e^{2 x + 1} \sin{\left(e^{2 x + 1} \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{2 e^{2 x + 1} \sin^{2}{\left(e^{2 x + 1} \right)} + 2 e^{2 x + 1} \cos^{2}{\left(e^{2 x + 1} \right)}}{\cos^{2}{\left(e^{2 x + 1} \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{2 e^{2 x + 1}}{\cos^{2}{\left(e^{2 x + 1} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 e^{2 x + 1}}{\cos^{2}{\left(e^{2 x + 1} \right)}}$