Derivada de y=(5x-1)^5+5x^2+tg2x

1. diferenciamos $\left(5 x^{2} + \left(5 x - 1\right)^{5}\right) + \tan{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $5 x^{2} + \left(5 x - 1\right)^{5}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 5 x - 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(5 x - 1\right)$:

         1. diferenciamos $5 x - 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $25 \left(5 x - 1\right)^{4}$

      4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Entonces, como resultado: $10 x$

      Como resultado de: $10 x + 25 \left(5 x - 1\right)^{4}$

   2. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

   3. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   Como resultado de: $10 x + 25 \left(5 x - 1\right)^{4} + \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $15625 x^{4} - 12500 x^{3} + 3750 x^{2} - 490 x + 2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 27$

Respuesta:

$15625 x^{4} - 12500 x^{3} + 3750 x^{2} - 490 x + 2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 27$