Derivada de x*exp(-x)*(ax+b)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(a x + b\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = a x + b$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $a x + b$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $b$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $a$

         Como resultado de: $a$

      Como resultado de: $2 a x + b$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x \left(a x + b\right) e^{x} + \left(2 a x + b\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(2 a x + b - x \left(a x + b\right)\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(2 a x + b - x \left(a x + b\right)\right) e^{- x}$