Derivada de (x-sinx)/xtanx

Solución

Ha introducido [src]

x - sin(x)       
----------*tan(x)
    x

$$\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x} \tan{\left(x \right)}$$

((x - sin(x))/x)*tan(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. diferenciamos $x - \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Entonces, como resultado: $- \cos{\left(x \right)}$
    Como resultado de: $1 - \cos{\left(x \right)}$
  $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{x \left(\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) - \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{x^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{x^{2} - \frac{5 x \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} - \frac{5 x \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{x \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                                   /       2   \             
/1 - cos(x)   x - sin(x)\          \1 + tan (x)/*(x - sin(x))
|---------- - ----------|*tan(x) + --------------------------
|    x             2    |                      x             
\                 x     /

$$\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/2*(-1 + cos(x))   2*(x - sin(x))         \            /       2   \ /     x - sin(x)         \     /       2   \                    
|--------------- + -------------- + sin(x)|*tan(x) - 2*\1 + tan (x)/*|-1 + ---------- + cos(x)| + 2*\1 + tan (x)/*(x - sin(x))*tan(x)
|       x                 2               |                          \         x              /                                      
\                        x                /                                                                                          
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  x

$$\frac{2 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} - 1 + \frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) + \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x} + \frac{2 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}\right) \tan{\left(x \right)}}{x}$$

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Tercera derivada [src]

  /          3*sin(x)   6*(x - sin(x))   6*(-1 + cos(x))\            /       2   \ /2*(-1 + cos(x))   2*(x - sin(x))         \     /       2   \ /     x - sin(x)         \            /       2   \ /         2   \             
- |-cos(x) + -------- + -------------- + ---------------|*tan(x) + 3*\1 + tan (x)/*|--------------- + -------------- + sin(x)| - 6*\1 + tan (x)/*|-1 + ---------- + cos(x)|*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/*(x - sin(x))
  |             x              3                 2      |                          |       x                 2               |                   \         x              /                                                      
  \                           x                 x       /                          \                        x                /                                                                                                   
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                x

$$\frac{2 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x} + \frac{2 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}\right) - 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} - 1 + \frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) \tan{\left(x \right)} - \left(- \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}} + \frac{6 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{3}}\right) \tan{\left(x \right)}}{x}$$

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