Derivada de y=x(2x+5)/2x^2-x-1

1. diferenciamos $\left(x^{2} \frac{x \left(2 x + 5\right)}{2} - x\right) - 1$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x^{2} \frac{x \left(2 x + 5\right)}{2} - x$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x^{3} \left(2 x + 5\right)$ y $g{\left(x \right)} = 2$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            $g{\left(x \right)} = 2 x + 5$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. diferenciamos $2 x + 5$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Como resultado de: $2$

            Como resultado de: $2 x^{3} + 3 x^{2} \left(2 x + 5\right)$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $x^{3} + \frac{3 x^{2} \left(2 x + 5\right)}{2}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-1$

      Como resultado de: $x^{3} + \frac{3 x^{2} \left(2 x + 5\right)}{2} - 1$

   2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $x^{3} + \frac{3 x^{2} \left(2 x + 5\right)}{2} - 1$

2. Simplificamos:

   $4 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} - 1$

Respuesta:

$4 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} - 1$