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y=(tg^3(4sin(1/x)))
Derivada de la función/ (1/x)/ y=(tg^3(4sin(1/x)))

Derivada de y=(tg^3(4sin(1/x)))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   3/     /1\\
tan |4*sin|-||
    \     \x//
tan⁡3(4sin⁡(1x))\tan^{3}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} 
tan(4*sin(1/x))^3
Solución detallada

  1. Sustituimos u=tan⁡(4sin⁡(1x))u = \tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(4sin⁡(1x))\frac{d}{d x} \tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan⁡(4sin⁡(1x))=sin⁡(4sin⁡(1x))cos⁡(4sin⁡(1x))\tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{\cos{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin⁡(4sin⁡(1x))f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} y g(x)=cos⁡(4sin⁡(1x))g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=4sin⁡(1x)u = 4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx4sin⁡(1x)\frac{d}{d x} 4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Sustituimos u=1xu = \frac{1}{x}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1x\frac{d}{d x} \frac{1}{x}:

            1. Según el principio, aplicamos: 1x\frac{1}{x} tenemos −1x2- \frac{1}{x^{2}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −cos⁡(1x)x2- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

          Entonces, como resultado: −4cos⁡(1x)x2- \frac{4 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −4cos⁡(1x)cos⁡(4sin⁡(1x))x2- \frac{4 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=4sin⁡(1x)u = 4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx4sin⁡(1x)\frac{d}{d x} 4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Sustituimos u=1xu = \frac{1}{x}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1x\frac{d}{d x} \frac{1}{x}:

            1. Según el principio, aplicamos: 1x\frac{1}{x} tenemos −1x2- \frac{1}{x^{2}}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −cos⁡(1x)x2- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

          Entonces, como resultado: −4cos⁡(1x)x2- \frac{4 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        4sin⁡(4sin⁡(1x))cos⁡(1x)x2\frac{4 \sin{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      −4sin⁡2(4sin⁡(1x))cos⁡(1x)x2−4cos⁡(1x)cos⁡2(4sin⁡(1x))x2cos⁡2(4sin⁡(1x))\frac{- \frac{4 \sin^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    3(−4sin⁡2(4sin⁡(1x))cos⁡(1x)x2−4cos⁡(1x)cos⁡2(4sin⁡(1x))x2)tan⁡2(4sin⁡(1x))cos⁡2(4sin⁡(1x))\frac{3 \left(- \frac{4 \sin^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{4 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}

  4. Simplificamos:

    −12cos⁡(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))x2cos⁡2(4sin⁡(1x))- \frac{12 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}

Respuesta:

−12cos⁡(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))x2cos⁡2(4sin⁡(1x))- \frac{12 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000005000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       2/     /1\\ /       2/     /1\\\    /1\
-12*tan |4*sin|-||*|1 + tan |4*sin|-|||*cos|-|
        \     \x// \        \     \x///    \x/
----------------------------------------------
                       2                      
                      x
−12(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)cos⁡(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))x2- \frac{12 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                        /                            /1\    /     /1\\        2/1\    2/     /1\\        2/1\ /       2/     /1\\\\              
                        |                         sin|-|*tan|4*sin|-||   8*cos |-|*tan |4*sin|-||   8*cos |-|*|1 + tan |4*sin|-||||              
   /       2/     /1\\\ |     /1\    /     /1\\      \x/    \     \x//         \x/     \     \x//         \x/ \        \     \x///|    /     /1\\
12*|1 + tan |4*sin|-|||*|2*cos|-|*tan|4*sin|-|| - -------------------- + ------------------------ + ------------------------------|*tan|4*sin|-||
   \        \     \x/// \     \x/    \     \x//            x                        x                             x               /    \     \x//
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                         3                                                                       
                                                                        x
12(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)(2cos⁡(1x)tan⁡(4sin⁡(1x))+8(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)cos⁡2(1x)x−sin⁡(1x)tan⁡(4sin⁡(1x))x+8cos⁡2(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))x)tan⁡(4sin⁡(1x))x3\frac{12 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right) \left(2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + \frac{8 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x} + \frac{8 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x}\right) \tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{3}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                        /                                                                                                                                   2                                                                                                                                                                                                                            \
                        |                               2/     /1\\    /1\         3/1\    4/     /1\\         2/1\    3/     /1\\      /       2/     /1\\\     3/1\        2/     /1\\    /1\          3/1\    2/     /1\\ /       2/     /1\\\         2/1\ /       2/     /1\\\    /     /1\\         3/     /1\\    /1\    /1\      /       2/     /1\\\    /1\    /1\    /     /1\\|
                        |                            tan |4*sin|-||*cos|-|   64*cos |-|*tan |4*sin|-||   48*cos |-|*tan |4*sin|-||   32*|1 + tan |4*sin|-||| *cos |-|   6*tan |4*sin|-||*sin|-|   224*cos |-|*tan |4*sin|-||*|1 + tan |4*sin|-|||   48*cos |-|*|1 + tan |4*sin|-|||*tan|4*sin|-||   24*tan |4*sin|-||*cos|-|*sin|-|   24*|1 + tan |4*sin|-|||*cos|-|*sin|-|*tan|4*sin|-|||
   /       2/     /1\\\ |       2/     /1\\    /1\       \     \x//    \x/          \x/     \     \x//          \x/     \     \x//      \        \     \x///      \x/         \     \x//    \x/           \x/     \     \x// \        \     \x///          \x/ \        \     \x///    \     \x//          \     \x//    \x/    \x/      \        \     \x///    \x/    \x/    \     \x//|
12*|1 + tan |4*sin|-|||*|- 6*tan |4*sin|-||*cos|-| + --------------------- - ------------------------- - ------------------------- - -------------------------------- + ----------------------- - ----------------------------------------------- - --------------------------------------------- + ------------------------------- + ---------------------------------------------------|
   \        \     \x/// |        \     \x//    \x/              2                         2                          x                               2                             x                                      2                                               x                                         2                                           2                        |
                        \                                      x                         x                                                          x                                                                    x                                                                                         x                                           x                         /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                             4                                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                                            x
12(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)(−6cos⁡(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))−48(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)cos⁡2(1x)tan⁡(4sin⁡(1x))x+6sin⁡(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))x−48cos⁡2(1x)tan⁡3(4sin⁡(1x))x−32(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)2cos⁡3(1x)x2+24(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)sin⁡(1x)cos⁡(1x)tan⁡(4sin⁡(1x))x2−224(tan⁡2(4sin⁡(1x))+1)cos⁡3(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))x2+24sin⁡(1x)cos⁡(1x)tan⁡3(4sin⁡(1x))x2−64cos⁡3(1x)tan⁡4(4sin⁡(1x))x2+cos⁡(1x)tan⁡2(4sin⁡(1x))x2)x4\frac{12 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right) \left(- 6 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} - \frac{48 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x} + \frac{6 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x} - \frac{48 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{3}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x} - \frac{32 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right)^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{24 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}} - \frac{224 \left(\tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)} + 1\right) \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{24 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{3}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}} - \frac{64 \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{4}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(4 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=(tg^3(4sin(1/x)))
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