Sr Examen

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y=ctg(x^4-2x^3)
Derivada de la función/ y=ctg/ -2x^3/ y=ctg(x^4-2x^3)

Derivada de y=ctg(x^4-2x^3)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   / 4      3\
cot\x  - 2*x /
cot⁡(x4−2x3)\cot{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} 
cot(x^4 - 2*x^3)
Solución detallada

  1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

    Method #1

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      cot⁡(x4−2x3)=1tan⁡(x4−2x3)\cot{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}

    2. Sustituimos u=tan⁡(x4−2x3)u = \tan{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}.

    3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x4−2x3)\frac{d}{d x} \tan{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x4−2x3)=sin⁡(x4−2x3)cos⁡(x4−2x3)\tan{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} = \frac{\sin{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}{\cos{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x4−2x3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} y g(x)=cos⁡(x4−2x3)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x4−2x3u = x^{4} - 2 x^{3}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x4−2x3)\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 2 x^{3}\right):

          1. diferenciamos x4−2x3x^{4} - 2 x^{3} miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: x4x^{4} tenemos 4x34 x^{3}

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

              Entonces, como resultado: −6x2- 6 x^{2}

            Como resultado de: 4x3−6x24 x^{3} - 6 x^{2}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          (4x3−6x2)cos⁡(x4−2x3)\left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \cos{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x4−2x3u = x^{4} - 2 x^{3}.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x4−2x3)\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 2 x^{3}\right):

          1. diferenciamos x4−2x3x^{4} - 2 x^{3} miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: x4x^{4} tenemos 4x34 x^{3}

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

              Entonces, como resultado: −6x2- 6 x^{2}

            Como resultado de: 4x3−6x24 x^{3} - 6 x^{2}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −(4x3−6x2)sin⁡(x4−2x3)- \left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \sin{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        (4x3−6x2)sin⁡2(x4−2x3)+(4x3−6x2)cos⁡2(x4−2x3)cos⁡2(x4−2x3)\frac{\left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \sin^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} + \left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \cos^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −(4x3−6x2)sin⁡2(x4−2x3)+(4x3−6x2)cos⁡2(x4−2x3)cos⁡2(x4−2x3)tan⁡2(x4−2x3)- \frac{\left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \sin^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} + \left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \cos^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} \tan^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}

    Method #2

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      cot⁡(x4−2x3)=cos⁡(x4−2x3)sin⁡(x4−2x3)\cot{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} = \frac{\cos{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}{\sin{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos⁡(x4−2x3)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} y g(x)=sin⁡(x4−2x3)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x4−2x3u = x^{4} - 2 x^{3}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x4−2x3)\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 2 x^{3}\right):

        1. diferenciamos x4−2x3x^{4} - 2 x^{3} miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: x4x^{4} tenemos 4x34 x^{3}

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

            Entonces, como resultado: −6x2- 6 x^{2}

          Como resultado de: 4x3−6x24 x^{3} - 6 x^{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −(4x3−6x2)sin⁡(x4−2x3)- \left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \sin{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x4−2x3u = x^{4} - 2 x^{3}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x4−2x3)\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 2 x^{3}\right):

        1. diferenciamos x4−2x3x^{4} - 2 x^{3} miembro por miembro:

          1. Según el principio, aplicamos: x4x^{4} tenemos 4x34 x^{3}

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

            Entonces, como resultado: −6x2- 6 x^{2}

          Como resultado de: 4x3−6x24 x^{3} - 6 x^{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        (4x3−6x2)cos⁡(x4−2x3)\left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \cos{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      −(4x3−6x2)sin⁡2(x4−2x3)−(4x3−6x2)cos⁡2(x4−2x3)sin⁡2(x4−2x3)\frac{- \left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \sin^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} - \left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \cos^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}{\sin^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)}}

  2. Simplificamos:

    x2(12−8x)1−cos⁡(2x3(x−2))\frac{x^{2} \left(12 - 8 x\right)}{1 - \cos{\left(2 x^{3} \left(x - 2\right) \right)}}

Respuesta:

x2(12−8x)1−cos⁡(2x3(x−2))\frac{x^{2} \left(12 - 8 x\right)}{1 - \cos{\left(2 x^{3} \left(x - 2\right) \right)}}

Primera derivada [src] 
/        2/ 4      3\\ /     2      3\
\-1 - cot \x  - 2*x //*\- 6*x  + 4*x /
(4x3−6x2)(−cot⁡2(x4−2x3)−1)\left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right) \left(- \cot^{2}{\left(x^{4} - 2 x^{3} \right)} - 1\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
    /       2/ 3         \\ /             3           2    / 3         \\
4*x*\1 + cot \x *(-2 + x)//*\3 - 3*x + 2*x *(-3 + 2*x) *cot\x *(-2 + x)//
4x(cot⁡2(x3(x−2))+1)(2x3(2x−3)2cot⁡(x3(x−2))−3x+3)4 x \left(\cot^{2}{\left(x^{3} \left(x - 2\right) \right)} + 1\right) \left(2 x^{3} \left(2 x - 3\right)^{2} \cot{\left(x^{3} \left(x - 2\right) \right)} - 3 x + 3\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /       2/ 3         \\ /             6           3    2/ 3         \      6           3 /       2/ 3         \\       3                        / 3         \\
4*\1 + cot \x *(-2 + x)//*\3 - 6*x - 8*x *(-3 + 2*x) *cot \x *(-2 + x)/ - 4*x *(-3 + 2*x) *\1 + cot \x *(-2 + x)// + 36*x *(-1 + x)*(-3 + 2*x)*cot\x *(-2 + x)//
4(cot⁡2(x3(x−2))+1)(−4x6(2x−3)3(cot⁡2(x3(x−2))+1)−8x6(2x−3)3cot⁡2(x3(x−2))+36x3(x−1)(2x−3)cot⁡(x3(x−2))−6x+3)4 \left(\cot^{2}{\left(x^{3} \left(x - 2\right) \right)} + 1\right) \left(- 4 x^{6} \left(2 x - 3\right)^{3} \left(\cot^{2}{\left(x^{3} \left(x - 2\right) \right)} + 1\right) - 8 x^{6} \left(2 x - 3\right)^{3} \cot^{2}{\left(x^{3} \left(x - 2\right) \right)} + 36 x^{3} \left(x - 1\right) \left(2 x - 3\right) \cot{\left(x^{3} \left(x - 2\right) \right)} - 6 x + 3\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctg(x^4-2x^3)
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