Sr Examen

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(z^2+1)/((z-1-i)*(z+2))

Derivada de (z^2+1)/((z-1-i)*(z+2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2          
       z  + 1      
-------------------
(z - 1 - I)*(z + 2)
z2+1(z+2)((z1)i)\frac{z^{2} + 1}{\left(z + 2\right) \left(\left(z - 1\right) - i\right)}
(z^2 + 1)/(((z - 1 - i)*(z + 2)))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=z2+1f{\left(z \right)} = z^{2} + 1 y g(z)=(z+2)(z1i)g{\left(z \right)} = \left(z + 2\right) \left(z - 1 - i\right).

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. diferenciamos z2+1z^{2} + 1 miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

      Como resultado de: 2z2 z

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}

      f(z)=z+2f{\left(z \right)} = z + 2; calculamos ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z+2z + 2 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        Como resultado de: 11

      g(z)=z1ig{\left(z \right)} = z - 1 - i; calculamos ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z1iz - 1 - i miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 1-1 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        3. La derivada de una constante i- i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de: 2z+1i2 z + 1 - i

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    2z(z+2)(z1i)(z2+1)(2z+1i)(z+2)2(z1i)2\frac{2 z \left(z + 2\right) \left(z - 1 - i\right) - \left(z^{2} + 1\right) \left(2 z + 1 - i\right)}{\left(z + 2\right)^{2} \left(z - 1 - i\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    2z(z+2)(z+1+i)+(z2+1)(2z+1i)(z+2)2(z+1+i)2- \frac{2 z \left(z + 2\right) \left(- z + 1 + i\right) + \left(z^{2} + 1\right) \left(2 z + 1 - i\right)}{\left(z + 2\right)^{2} \left(- z + 1 + i\right)^{2}}


Respuesta:

2z(z+2)(z+1+i)+(z2+1)(2z+1i)(z+2)2(z+1+i)2- \frac{2 z \left(z + 2\right) \left(- z + 1 + i\right) + \left(z^{2} + 1\right) \left(2 z + 1 - i\right)}{\left(z + 2\right)^{2} \left(- z + 1 + i\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Primera derivada [src]
                          / 2    \               
             1            \z  + 1/*(-1 + I - 2*z)
2*z*------------------- + -----------------------
    (z + 2)*(z - 1 - I)           2            2 
                           (z + 2) *(z - 1 - I)  
2z1(z+2)((z1)i)+(z2+1)(2z1+i)(z+2)2((z1)i)22 z \frac{1}{\left(z + 2\right) \left(\left(z - 1\right) - i\right)} + \frac{\left(z^{2} + 1\right) \left(- 2 z - 1 + i\right)}{\left(z + 2\right)^{2} \left(\left(z - 1\right) - i\right)^{2}}
Segunda derivada [src]
 /    /     2\ /    1 - I + 2*z   /    1         1  \                 1 - I + 2*z\                      \ 
 |    \1 + z /*|2 + ----------- + |--------- - -----|*(1 - I + 2*z) - -----------|                      | 
 |             \     1 + I - z    \1 + I - z   2 + z/                    2 + z   /    4*z*(1 - I + 2*z) | 
-|2 + ---------------------------------------------------------------------------- + -------------------| 
 \                                (2 + z)*(1 + I - z)                                (2 + z)*(1 + I - z)/ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                           (2 + z)*(1 + I - z)                                            
4z(2z+1i)(z+2)(z+1+i)+2+(z2+1)((1z+1+i1z+2)(2z+1i)+2+2z+1iz+1+i2z+1iz+2)(z+2)(z+1+i)(z+2)(z+1+i)- \frac{\frac{4 z \left(2 z + 1 - i\right)}{\left(z + 2\right) \left(- z + 1 + i\right)} + 2 + \frac{\left(z^{2} + 1\right) \left(\left(\frac{1}{- z + 1 + i} - \frac{1}{z + 2}\right) \left(2 z + 1 - i\right) + 2 + \frac{2 z + 1 - i}{- z + 1 + i} - \frac{2 z + 1 - i}{z + 2}\right)}{\left(z + 2\right) \left(- z + 1 + i\right)}}{\left(z + 2\right) \left(- z + 1 + i\right)}
Tercera derivada [src]
 /                          /                                                                                                                            /    1         1  \                 /    1         1  \                                    \                                                                          \ 
 |                          |                                                                                                                            |--------- - -----|*(1 - I + 2*z)   |--------- - -----|*(1 - I + 2*z)                      |                                                                          | 
 |                 /     2\ |    8         8                       /   1            1                  1         \   3*(1 - I + 2*z)   3*(1 - I + 2*z)   \1 + I - z   2 + z/                 \1 + I - z   2 + z/                   4*(1 - I + 2*z)  |       /    1 - I + 2*z   /    1         1  \                 1 - I + 2*z\| 
-|6 - 6*I + 12*z + \1 + z /*|- ----- + --------- + 2*(1 - I + 2*z)*|-------- + ------------ - -------------------| + --------------- + --------------- + --------------------------------- - --------------------------------- - -------------------| + 6*z*|2 + ----------- + |--------- - -----|*(1 - I + 2*z) - -----------|| 
 |                          |  2 + z   1 + I - z                   |       2              2   (2 + z)*(1 + I - z)|              2                   2                1 + I - z                             2 + z                 (2 + z)*(1 + I - z)|       \     1 + I - z    \1 + I - z   2 + z/                    2 + z   /| 
 \                          \                                      \(2 + z)    (1 + I - z)                       /       (2 + z)         (1 + I - z)                                                                                                /                                                                          / 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                             2            2                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                      (2 + z) *(1 + I - z)                                                                                                                                                       
6z((1z+1+i1z+2)(2z+1i)+2+2z+1iz+1+i2z+1iz+2)+12z+(z2+1)((1z+1+i1z+2)(2z+1i)z+1+i+2(2z+1i)(1(z+1+i)21(z+2)(z+1+i)+1(z+2)2)+8z+1+i+3(2z+1i)(z+1+i)2(1z+1+i1z+2)(2z+1i)z+28z+24(2z+1i)(z+2)(z+1+i)+3(2z+1i)(z+2)2)+66i(z+2)2(z+1+i)2- \frac{6 z \left(\left(\frac{1}{- z + 1 + i} - \frac{1}{z + 2}\right) \left(2 z + 1 - i\right) + 2 + \frac{2 z + 1 - i}{- z + 1 + i} - \frac{2 z + 1 - i}{z + 2}\right) + 12 z + \left(z^{2} + 1\right) \left(\frac{\left(\frac{1}{- z + 1 + i} - \frac{1}{z + 2}\right) \left(2 z + 1 - i\right)}{- z + 1 + i} + 2 \left(2 z + 1 - i\right) \left(\frac{1}{\left(- z + 1 + i\right)^{2}} - \frac{1}{\left(z + 2\right) \left(- z + 1 + i\right)} + \frac{1}{\left(z + 2\right)^{2}}\right) + \frac{8}{- z + 1 + i} + \frac{3 \left(2 z + 1 - i\right)}{\left(- z + 1 + i\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{1}{- z + 1 + i} - \frac{1}{z + 2}\right) \left(2 z + 1 - i\right)}{z + 2} - \frac{8}{z + 2} - \frac{4 \left(2 z + 1 - i\right)}{\left(z + 2\right) \left(- z + 1 + i\right)} + \frac{3 \left(2 z + 1 - i\right)}{\left(z + 2\right)^{2}}\right) + 6 - 6 i}{\left(z + 2\right)^{2} \left(- z + 1 + i\right)^{2}}
Gráfico
Derivada de (z^2+1)/((z-1-i)*(z+2))