Derivada de y=5ctg(3-x2)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(3 - x_{2} \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = \tan{\left(x_{2} - 3 \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x_{2}} \tan{\left(x_{2} - 3 \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(x_{2} - 3 \right)} = \frac{\sin{\left(x_{2} - 3 \right)}}{\cos{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x_{2}} \frac{f{\left(x_{2} \right)}}{g{\left(x_{2} \right)}} = \frac{- f{\left(x_{2} \right)} \frac{d}{d x_{2}} g{\left(x_{2} \right)} + g{\left(x_{2} \right)} \frac{d}{d x_{2}} f{\left(x_{2} \right)}}{g^{2}{\left(x_{2} \right)}}$

               $f{\left(x_{2} \right)} = \sin{\left(x_{2} - 3 \right)}$ y $g{\left(x_{2} \right)} = \cos{\left(x_{2} - 3 \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x_{2}} f{\left(x_{2} \right)}$:

               1. Sustituimos $u = x_{2} - 3$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x_{2}} \left(x_{2} - 3\right)$:

                  1. diferenciamos $x_{2} - 3$ miembro por miembro:

                     1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

                     2. Según el principio, aplicamos: $x_{2}$ tenemos $1$

                     Como resultado de: $1$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $\cos{\left(x_{2} - 3 \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x_{2}} g{\left(x_{2} \right)}$:

               1. Sustituimos $u = x_{2} - 3$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x_{2}} \left(x_{2} - 3\right)$:

                  1. diferenciamos $x_{2} - 3$ miembro por miembro:

                     1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

                     2. Según el principio, aplicamos: $x_{2}$ tenemos $1$

                     Como resultado de: $1$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- \sin{\left(x_{2} - 3 \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} + \cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} + \cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} \tan^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} + \cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} \tan^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\cot{\left(3 - x_{2} \right)} = - \frac{\cos{\left(x_{2} - 3 \right)}}{\sin{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x_{2}} \frac{f{\left(x_{2} \right)}}{g{\left(x_{2} \right)}} = \frac{- f{\left(x_{2} \right)} \frac{d}{d x_{2}} g{\left(x_{2} \right)} + g{\left(x_{2} \right)} \frac{d}{d x_{2}} f{\left(x_{2} \right)}}{g^{2}{\left(x_{2} \right)}}$

            $f{\left(x_{2} \right)} = \cos{\left(x_{2} - 3 \right)}$ y $g{\left(x_{2} \right)} = \sin{\left(x_{2} - 3 \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x_{2}} f{\left(x_{2} \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x_{2} - 3$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x_{2}} \left(x_{2} - 3\right)$:

               1. diferenciamos $x_{2} - 3$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

                  2. Según el principio, aplicamos: $x_{2}$ tenemos $1$

                  Como resultado de: $1$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \sin{\left(x_{2} - 3 \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x_{2}} g{\left(x_{2} \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x_{2} - 3$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x_{2}} \left(x_{2} - 3\right)$:

               1. diferenciamos $x_{2} - 3$ miembro por miembro:

                  1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

                  2. Según el principio, aplicamos: $x_{2}$ tenemos $1$

                  Como resultado de: $1$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\cos{\left(x_{2} - 3 \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{- \sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} - \cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}{\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

         Entonces, como resultado: $- \frac{- \sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} - \cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}{\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} + \cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)} \tan^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{5}{\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{5}{\sin^{2}{\left(x_{2} - 3 \right)}}$