Derivada de x/sin(12x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(12 x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 12 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 12 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $12$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $12 \cos{\left(12 x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 12 x \cos{\left(12 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{\sin^{2}{\left(12 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{- 12 x \cos{\left(12 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{\sin^{2}{\left(12 x \right)}}$