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(z-i)*z^2/(z^2+1)^2
Derivada de la función/ z^2+1/ (z-i)/ (z-i)*z^2/(z^2+1)^2

Derivada de (z-i)*z^2/(z^2+1)^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2
(z - I)*z 
----------
        2 
/ 2    \  
\z  + 1/
z2(z−i)(z2+1)2\frac{z^{2} \left(z - i\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}} 
((z - i)*z^2)/(z^2 + 1)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=z2(z−i)f{\left(z \right)} = z^{2} \left(z - i\right) y g(z)=(z2+1)2g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 1\right)^{2}.

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}

      f(z)=z2f{\left(z \right)} = z^{2}; calculamos ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

      g(z)=z−ig{\left(z \right)} = z - i; calculamos ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z−iz - i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        2. La derivada de una constante −i- i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de: z2+2z(z−i)z^{2} + 2 z \left(z - i\right)

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Sustituimos u=z2+1u = z^{2} + 1.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z2+1)\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 1\right):

      1. diferenciamos z2+1z^{2} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

        Como resultado de: 2z2 z

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2z(2z2+2)2 z \left(2 z^{2} + 2\right)

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −2z3(z−i)(2z2+2)+(z2+1)2(z2+2z(z−i))(z2+1)4\frac{- 2 z^{3} \left(z - i\right) \left(2 z^{2} + 2\right) + \left(z^{2} + 1\right)^{2} \left(z^{2} + 2 z \left(z - i\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    z(−4z2(z−i)+(3z−2i)(z2+1))(z2+1)3\frac{z \left(- 4 z^{2} \left(z - i\right) + \left(3 z - 2 i\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}}

Respuesta:

z(−4z2(z−i)+(3z−2i)(z2+1))(z2+1)3\frac{z \left(- 4 z^{2} \left(z - i\right) + \left(3 z - 2 i\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
 2                    3        
z  + 2*z*(z - I)   4*z *(z - I)
---------------- - ------------
           2                3  
   / 2    \         / 2    \   
   \z  + 1/         \z  + 1/
−4z3(z−i)(z2+1)3+z2+2z(z−i)(z2+1)2- \frac{4 z^{3} \left(z - i\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{z^{2} + 2 z \left(z - i\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                    /         2 \        \
  |                                  2 |      6*z  |        |
  |                               2*z *|-1 + ------|*(z - I)|
  |              2                     |          2|        |
  |           4*z *(-2*I + 3*z)        \     1 + z /        |
2*|-I + 3*z - ----------------- + --------------------------|
  |                      2                       2          |
  \                 1 + z                   1 + z           /
-------------------------------------------------------------
                                  2                          
                          /     2\                           
                          \1 + z /
2(2z2(z−i)(6z2z2+1−1)z2+1−4z2(3z−2i)z2+1+3z−i)(z2+1)2\frac{2 \left(\frac{2 z^{2} \left(z - i\right) \left(\frac{6 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right)}{z^{2} + 1} - \frac{4 z^{2} \left(3 z - 2 i\right)}{z^{2} + 1} + 3 z - i\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                          /         2 \               /         2 \             \
  |                        3 |      8*z  |               |      6*z  |             |
  |                     4*z *|-3 + ------|*(z - I)   2*z*|-1 + ------|*(-2*I + 3*z)|
  |                          |          2|               |          2|             |
  |    4*z*(-I + 3*z)        \     1 + z /               \     1 + z /             |
6*|1 - -------------- - -------------------------- + ------------------------------|
  |             2                       2                             2            |
  |        1 + z                /     2\                         1 + z             |
  \                             \1 + z /                                           /
------------------------------------------------------------------------------------
                                             2                                      
                                     /     2\                                       
                                     \1 + z /
6(−4z3(z−i)(8z2z2+1−3)(z2+1)2+2z(3z−2i)(6z2z2+1−1)z2+1−4z(3z−i)z2+1+1)(z2+1)2\frac{6 \left(- \frac{4 z^{3} \left(z - i\right) \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 1} - 3\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 z \left(3 z - 2 i\right) \left(\frac{6 z^{2}}{z^{2} + 1} - 1\right)}{z^{2} + 1} - \frac{4 z \left(3 z - i\right)}{z^{2} + 1} + 1\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (z-i)*z^2/(z^2+1)^2
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