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y=(sinx-xcosx)/(sinx+xcosx)

Derivada de y=(sinx-xcosx)/(sinx+xcosx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
sin(x) - x*cos(x)
-----------------
sin(x) + x*cos(x)
xcos(x)+sin(x)xcos(x)+sin(x)\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}
(sin(x) - x*cos(x))/(sin(x) + x*cos(x))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xcos(x)+sin(x)f{\left(x \right)} = - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} y g(x)=xcos(x)+sin(x)g{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos xcos(x)+sin(x)- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Como resultado de: xsin(x)+cos(x)- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: xsin(x)cos(x)x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de: xsin(x)x \sin{\left(x \right)}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos xcos(x)+sin(x)x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Como resultado de: xsin(x)+cos(x)- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de: xsin(x)+2cos(x)- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x(xcos(x)+sin(x))sin(x)(xsin(x)+2cos(x))(xcos(x)+sin(x))(xcos(x)+sin(x))2\frac{x \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \left(- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    2xsin(2x)(xcos(x)+sin(x))2\frac{2 x - \sin{\left(2 x \right)}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}


Respuesta:

2xsin(2x)(xcos(x)+sin(x))2\frac{2 x - \sin{\left(2 x \right)}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500000500000
Primera derivada [src]
     x*sin(x)       (-2*cos(x) + x*sin(x))*(sin(x) - x*cos(x))
----------------- + ------------------------------------------
sin(x) + x*cos(x)                                 2           
                               (sin(x) + x*cos(x))            
xsin(x)xcos(x)+sin(x)+(xsin(x)2cos(x))(xcos(x)+sin(x))(xcos(x)+sin(x))2\frac{x \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}
Segunda derivada [src]
                         /                                              2\                                    
                         |                      2*(-2*cos(x) + x*sin(x)) |                                    
    (-sin(x) + x*cos(x))*|3*sin(x) + x*cos(x) + -------------------------|                                    
                         \                          x*cos(x) + sin(x)    /   2*x*(-2*cos(x) + x*sin(x))*sin(x)
1 - ---------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------
                                                2                                                      2      
                             (x*cos(x) + sin(x))                                    (x*cos(x) + sin(x))       
2x(xsin(x)2cos(x))sin(x)(xcos(x)+sin(x))2(xcos(x)sin(x))(xcos(x)+2(xsin(x)2cos(x))2xcos(x)+sin(x)+3sin(x))(xcos(x)+sin(x))2+1\frac{2 x \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} - \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1
3-я производная [src]
                                              /                                              3                                                 \                                                               
                                              |                      6*(-2*cos(x) + x*sin(x))    6*(-2*cos(x) + x*sin(x))*(3*sin(x) + x*cos(x))|       /                                              2\       
                         (-sin(x) + x*cos(x))*|4*cos(x) - x*sin(x) + ------------------------- + ----------------------------------------------|       |                      2*(-2*cos(x) + x*sin(x)) |       
                                              |                                            2                   x*cos(x) + sin(x)               |   3*x*|3*sin(x) + x*cos(x) + -------------------------|*sin(x)
                                              \                         (x*cos(x) + sin(x))                                                    /       \                          x*cos(x) + sin(x)    /       
-4*cos(x) + 2*x*sin(x) - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------
                                                                            x*cos(x) + sin(x)                                                                           x*cos(x) + sin(x)                      
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                               x*cos(x) + sin(x)                                                                                               
2xsin(x)+3x(xcos(x)+2(xsin(x)2cos(x))2xcos(x)+sin(x)+3sin(x))sin(x)xcos(x)+sin(x)(xcos(x)sin(x))(xsin(x)+6(xsin(x)2cos(x))3(xcos(x)+sin(x))2+6(xsin(x)2cos(x))(xcos(x)+3sin(x))xcos(x)+sin(x)+4cos(x))xcos(x)+sin(x)4cos(x)xcos(x)+sin(x)\frac{2 x \sin{\left(x \right)} + \frac{3 x \left(x \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 3 \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \left(- x \sin{\left(x \right)} + \frac{6 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{3}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{6 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(x \right)}\right)}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} - 4 \cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}
Tercera derivada [src]
                                              /                                              3                                                 \                                                               
                                              |                      6*(-2*cos(x) + x*sin(x))    6*(-2*cos(x) + x*sin(x))*(3*sin(x) + x*cos(x))|       /                                              2\       
                         (-sin(x) + x*cos(x))*|4*cos(x) - x*sin(x) + ------------------------- + ----------------------------------------------|       |                      2*(-2*cos(x) + x*sin(x)) |       
                                              |                                            2                   x*cos(x) + sin(x)               |   3*x*|3*sin(x) + x*cos(x) + -------------------------|*sin(x)
                                              \                         (x*cos(x) + sin(x))                                                    /       \                          x*cos(x) + sin(x)    /       
-4*cos(x) + 2*x*sin(x) - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------
                                                                            x*cos(x) + sin(x)                                                                           x*cos(x) + sin(x)                      
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                               x*cos(x) + sin(x)                                                                                               
2xsin(x)+3x(xcos(x)+2(xsin(x)2cos(x))2xcos(x)+sin(x)+3sin(x))sin(x)xcos(x)+sin(x)(xcos(x)sin(x))(xsin(x)+6(xsin(x)2cos(x))3(xcos(x)+sin(x))2+6(xsin(x)2cos(x))(xcos(x)+3sin(x))xcos(x)+sin(x)+4cos(x))xcos(x)+sin(x)4cos(x)xcos(x)+sin(x)\frac{2 x \sin{\left(x \right)} + \frac{3 x \left(x \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 3 \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \left(- x \sin{\left(x \right)} + \frac{6 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{3}}{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{6 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}\right)}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(x \right)}\right)}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}} - 4 \cos{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}
Gráfico
Derivada de y=(sinx-xcosx)/(sinx+xcosx)