Derivada de x^3/(x-2)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ y $g{\left(x \right)} = \left(x - 2\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x - 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)$:

      1. diferenciamos $x - 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x - 4$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x^{3} \left(2 x - 4\right) + 3 x^{2} \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} \left(x - 6\right)}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(x - 6\right)}{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}$