Derivada de y=x^2/(3x+1)^4

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$ y $g{\left(x \right)} = \left(3 x + 1\right)^{4}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $3 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $12 \left(3 x + 1\right)^{3}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 12 x^{2} \left(3 x + 1\right)^{3} + 2 x \left(3 x + 1\right)^{4}}{\left(3 x + 1\right)^{8}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x \left(1 - 3 x\right)}{\left(3 x + 1\right)^{5}}$

Respuesta:

$\frac{2 x \left(1 - 3 x\right)}{\left(3 x + 1\right)^{5}}$