Derivada de y=-cos1-ctg(4x)-1

1. diferenciamos $\left(- \cot{\left(4 x \right)} - \cos{\left(1 \right)}\right) - 1$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $- \cot{\left(4 x \right)} - \cos{\left(1 \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $- \cos{\left(1 \right)}$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

            Method #1

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(4 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(4 x \right)}}$

            2. Sustituimos $u = \tan{\left(4 x \right)}$.

            3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x \right)}$:

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 4 x$.

                  2. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $4$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $4 \cos{\left(4 x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. Sustituimos $u = 4 x$.

                  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

                  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                     1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                        1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                        Entonces, como resultado: $4$

                     Como resultado de la secuencia de reglas:

                     $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}$

            Method #2

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\cot{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 4 x$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $4$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 4 x$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $4$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $4 \cos{\left(4 x \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{- 4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}$

   2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$