Derivada de (е^(2*(x+1)))/(2*(x+1))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{2 \left(x + 1\right)}$ y $g{\left(x \right)} = 2 x + 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 \left(x + 1\right)$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 \left(x + 1\right)$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 e^{2 x + 2}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 x + 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $2$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{2 \left(2 x + 2\right) e^{2 x + 2} - 2 e^{2 x + 2}}{\left(2 x + 2\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) e^{2 x + 2}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) e^{2 x + 2}}{\left(x + 1\right)^{2}}$