Derivada de x*tg(x/3)-9

1. diferenciamos $x \tan{\left(\frac{x}{3} \right)} - 9$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$

   2. La derivada de una constante $-9$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{x \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}} + \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\frac{x}{3} + \frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\frac{x}{3} + \frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$