Derivada de y=t^3-t/(1+t)^2

1. diferenciamos $t^{3} - \frac{t}{\left(t + 1\right)^{2}}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $t^{3}$ tenemos $3 t^{2}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

         $f{\left(t \right)} = t$ y $g{\left(t \right)} = \left(t + 1\right)^{2}$.

         Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

         Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

         1. Sustituimos $u = t + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \left(t + 1\right)$:

            1. diferenciamos $t + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 t + 2$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- t \left(2 t + 2\right) + \left(t + 1\right)^{2}}{\left(t + 1\right)^{4}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{- t \left(2 t + 2\right) + \left(t + 1\right)^{2}}{\left(t + 1\right)^{4}}$

   Como resultado de: $3 t^{2} - \frac{- t \left(2 t + 2\right) + \left(t + 1\right)^{2}}{\left(t + 1\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 t^{2} \left(t + 1\right)^{3} + t - 1}{\left(t + 1\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{3 t^{2} \left(t + 1\right)^{3} + t - 1}{\left(t + 1\right)^{3}}$