Derivada de y=((x⁴)+(2x))((x³)+(2x²)+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{4} + 2 x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{4} + 2 x$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $4 x^{3} + 2$

   $g{\left(x \right)} = \left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $x^{3} + 2 x^{2}$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $4 x$

         Como resultado de: $3 x^{2} + 4 x$

      2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $3 x^{2} + 4 x$

   Como resultado de: $\left(3 x^{2} + 4 x\right) \left(x^{4} + 2 x\right) + \left(4 x^{3} + 2\right) \left(\left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1\right)$

2. Simplificamos:

   $7 x^{6} + 12 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 2$

Respuesta:

$7 x^{6} + 12 x^{5} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 2$