Derivada de y=ctg(cbrt(x))

Solución

Ha introducido [src]

   /3 ___\
cot\\/ x /

$$\cot{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$$

cot(x^(1/3))

Solución detallada

Hay varias formas de calcular esta derivada.
Method #1
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\sqrt[3]{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$
2. Sustituimos $u = \tan{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$ .
3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(\sqrt[3]{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \sqrt[3]{x}$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{\cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \sqrt[3]{x}$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$ :
      
      Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} \tan^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$
Method #2
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\sqrt[3]{x} \right)} = \frac{\cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{\sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \sqrt[3]{x}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \sqrt[3]{x}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

        2/3 ___\
-1 - cot \\/ x /
----------------
        2/3     
     3*x

$$\frac{- \cot^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /       2/3 ___\\ /  1        /3 ___\\
2*\1 + cot \\/ x //*|----- + cot\\/ x /|
                    |3 ___             |
                    \\/ x              /
----------------------------------------
                    4/3                 
                 9*x

$$\frac{2 \left(\cot{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \left(\cot^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 1\right)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                     /              2/3 ___\        2/3 ___\        /3 ___\\
   /       2/3 ___\\ | 5     1 + cot \\/ x /   2*cot \\/ x /   6*cot\\/ x /|
-2*\1 + cot \\/ x //*|---- + --------------- + ------------- + ------------|
                     | 8/3           2                2             7/3    |
                     \x             x                x             x       /
----------------------------------------------------------------------------
                                     27

$$- \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 1\right) \left(\frac{\cot^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 1}{x^{2}} + \frac{2 \cot^{2}{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{6 \cot{\left(\sqrt[3]{x} \right)}}{x^{\frac{7}{3}}} + \frac{5}{x^{\frac{8}{3}}}\right)}{27}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=ctg(cbrt(x))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2