Derivada de y=2t^2+cott-cosect

1. diferenciamos $- t c \cos{\left(e \right)} + \left(2 t^{2} + \cot{\left(t \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $2 t^{2} + \cot{\left(t \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $t^{2}$ tenemos $2 t$

         Entonces, como resultado: $4 t$

      2. Hay varias formas de calcular esta derivada.

         Method #1

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(t \right)} = \frac{1}{\tan{\left(t \right)}}$

         2. Sustituimos $u = \tan{\left(t \right)}$.

         3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \tan{\left(t \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(t \right)} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

               $f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

               1. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

               1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)} \tan^{2}{\left(t \right)}}$

         Method #2

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(t \right)}}{\sin{\left(t \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

            $f{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{- \sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}}{\sin^{2}{\left(t \right)}}$

      Como resultado de: $4 t - \frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)} \tan^{2}{\left(t \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $- c \cos{\left(e \right)}$

   Como resultado de: $- c \cos{\left(e \right)} + 4 t - \frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)} \tan^{2}{\left(t \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- c \cos{\left(e \right)} + 4 t - \frac{1}{\sin^{2}{\left(t \right)}}$

Respuesta:

$- c \cos{\left(e \right)} + 4 t - \frac{1}{\sin^{2}{\left(t \right)}}$