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y=tg((x^1/2)/(x+1))
Derivada de la función/ x^1/2/ (x+1)/ y=tg((x^1/2)/(x+1))

Derivada de y=tg((x^1/2)/(x+1))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /  ___\
   |\/ x |
tan|-----|
   \x + 1/
tan⁡(xx+1)\tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)} 
tan(sqrt(x)/(x + 1))
Solución detallada

  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

    tan⁡(xx+1)=sin⁡(xx+1)cos⁡(xx+1)\tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{\cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}

  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=sin⁡(xx+1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)} y g(x)=cos⁡(xx+1)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=xx+1u = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}.

    2. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxxx+1\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x}}{x + 1}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = \sqrt{x} y g(x)=x+1g{\left(x \right)} = x + 1.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos x+1x + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 11

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −x+x+12x(x+1)2\frac{- \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}}{\left(x + 1\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      (−x+x+12x)cos⁡(xx+1)(x+1)2\frac{\left(- \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}\right) \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=xx+1u = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}.

    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxxx+1\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x}}{x + 1}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = \sqrt{x} y g(x)=x+1g{\left(x \right)} = x + 1.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos x+1x + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 11

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −x+x+12x(x+1)2\frac{- \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}}{\left(x + 1\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −(−x+x+12x)sin⁡(xx+1)(x+1)2- \frac{\left(- \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}\right) \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (−x+x+12x)sin⁡2(xx+1)(x+1)2+(−x+x+12x)cos⁡2(xx+1)(x+1)2cos⁡2(xx+1)\frac{\frac{\left(- \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(- \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}

  3. Simplificamos:

    1−x2x(x+1)2cos⁡2(xx+1)\frac{1 - x}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}

Respuesta:

1−x2x(x+1)2cos⁡2(xx+1)\frac{1 - x}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10102-1
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
/        /  ___\\ /                     ___  \
|       2|\/ x || |       1           \/ x   |
|1 + tan |-----||*|--------------- - --------|
\        \x + 1// |    ___                  2|
                  \2*\/ x *(x + 1)   (x + 1) /
(−x(x+1)2+12x(x+1))(tan⁡2(xx+1)+1)\left(- \frac{\sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)} + 1\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                  /                                                         2           \
                  |                                      /              ___\     /  ___\|
                  |                                      |    1     2*\/ x |     |\/ x ||
                  |                                      |- ----- + -------| *tan|-----||
/        /  ___\\ |                               ___    |    ___    1 + x |     \1 + x/|
|       2|\/ x || |    1            1         2*\/ x     \  \/ x           /            |
|1 + tan |-----||*|- ------ - ------------- + -------- + -------------------------------|
\        \1 + x// |     3/2     ___                  2              2*(1 + x)           |
                  \  4*x      \/ x *(1 + x)   (1 + x)                                   /
-----------------------------------------------------------------------------------------
                                          1 + x
(tan⁡2(xx+1)+1)(2x(x+1)2+(2xx+1−1x)2tan⁡(xx+1)2(x+1)−1x(x+1)−14x32)x+1\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)} + 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)}{x + 1}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                  /                                                                         3                                  3                                                                                       \
                  |                                                      /              ___\      /  ___\   /              ___\  /        /  ___\\     /              ___\ /           ___                 \    /  ___\|
                  |                                                      |    1     2*\/ x |     2|\/ x |   |    1     2*\/ x |  |       2|\/ x ||     |    1     2*\/ x | | 1     8*\/ x           4      |    |\/ x ||
                  |                                                      |- ----- + -------| *tan |-----|   |- ----- + -------| *|1 + tan |-----||   3*|- ----- + -------|*|---- - -------- + -------------|*tan|-----||
/        /  ___\\ |             ___                                      |    ___    1 + x |      \1 + x/   |    ___    1 + x |  \        \1 + x//     |    ___    1 + x | | 3/2          2     ___        |    \1 + x/|
|       2|\/ x || |  3      6*\/ x           3                3          \  \/ x           /                \  \/ x           /                        \  \/ x           / \x      (1 + x)    \/ x *(1 + x)/           |
|1 + tan |-----||*|------ - -------- + -------------- + -------------- - -------------------------------- - -------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------|
\        \1 + x// |   5/2          3     ___        2      3/2                               2                                     2                                             4*(1 + x)                             |
                  \8*x      (1 + x)    \/ x *(1 + x)    4*x   *(1 + x)              2*(1 + x)                             4*(1 + x)                                                                                    /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                         1 + x
(tan⁡2(xx+1)+1)(−6x(x+1)3+3(2xx+1−1x)(−8x(x+1)2+4x(x+1)+1x32)tan⁡(xx+1)4(x+1)−(2xx+1−1x)3(tan⁡2(xx+1)+1)4(x+1)2−(2xx+1−1x)3tan⁡2(xx+1)2(x+1)2+3x(x+1)2+34x32(x+1)+38x52)x+1\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)} + 1\right) \left(- \frac{6 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{3 \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \tan{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{4 \left(x + 1\right)} - \frac{\left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)} + 1\right)}{4 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3} \tan^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)}}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}} \left(x + 1\right)} + \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}\right)}{x + 1}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tg((x^1/2)/(x+1))
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