Derivada de y'''=-xcos(x/2)-7sin(x/2)+72x-12

1. diferenciamos $\left(72 x + \left(- x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 7 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right) - 12$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $72 x + \left(- x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 7 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $- x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 7 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ miembro por miembro:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = - x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

            Como resultado de: $\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{7 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

         Como resultado de: $\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $72$

      Como resultado de: $\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 72$

   2. La derivada de una constante $-12$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 72$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 72$

Respuesta:

$\frac{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + 72$