Derivada de (z+1)^2*z^3/z^4

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = z^{3} \left(z + 1\right)^{2}$ y $g{\left(z \right)} = z^{4}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$

      $f{\left(z \right)} = z^{3}$; calculamos $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $z^{3}$ tenemos $3 z^{2}$

      $g{\left(z \right)} = \left(z + 1\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

      1. Sustituimos $u = z + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z + 1\right)$:

         1. diferenciamos $z + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 z + 2$

      Como resultado de: $z^{3} \left(2 z + 2\right) + 3 z^{2} \left(z + 1\right)^{2}$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $z^{4}$ tenemos $4 z^{3}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 4 z^{6} \left(z + 1\right)^{2} + z^{4} \left(z^{3} \left(2 z + 2\right) + 3 z^{2} \left(z + 1\right)^{2}\right)}{z^{8}}$

2. Simplificamos:

   $1 - \frac{1}{z^{2}}$

Respuesta:

$1 - \frac{1}{z^{2}}$