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Derivada de la función/ y=x^-1/ y=x^-1(a²+x²)^1/2

Derivada de y=x^-1(a²+x²)^1/2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   _________
  /  2    2 
\/  a  + x  
------------
     x
a2+x2x\frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{x} 
sqrt(a^2 + x^2)/x
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=a2+x2f{\left(x \right)} = \sqrt{a^{2} + x^{2}} y g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=a2+x2u = a^{2} + x^{2}.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right):

      1. diferenciamos a2+x2a^{2} + x^{2} miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Como resultado de: 2x2 x

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x2a2+x2−a2+x2x2\frac{\frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \sqrt{a^{2} + x^{2}}}{x^{2}}

  2. Simplificamos:

    −a2x2a2+x2- \frac{a^{2}}{x^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

Respuesta:

−a2x2a2+x2- \frac{a^{2}}{x^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

Primera derivada [src] 
                  _________
                 /  2    2 
     1         \/  a  + x  
------------ - ------------
   _________         2     
  /  2    2         x      
\/  a  + x
1a2+x2−a2+x2x2\frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{x^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                          2                   
                         x                    
                 -1 + -------        _________
                       2    2       /  2    2 
       2              a  + x    2*\/  a  + x  
- ------------ - ------------ + --------------
     _________      _________          2      
    /  2    2      /  2    2          x       
  \/  a  + x     \/  a  + x                   
----------------------------------------------
                      x
−x2a2+x2−1a2+x2−2a2+x2+2a2+x2x2x\frac{- \frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{2}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{2 \sqrt{a^{2} + x^{2}}}{x^{2}}}{x}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /         2                                                   2   \
  |        x                                                   x    |
  |-1 + -------        _________                       -1 + ------- |
  |      2    2       /  2    2                              2    2 |
  |     a  + x    2*\/  a  + x            2                 a  + x  |
3*|------------ - -------------- + --------------- + ---------------|
  |         3/2          4               _________         _________|
  |/ 2    2\            x           2   /  2    2     2   /  2    2 |
  \\a  + x /                       x *\/  a  + x     x *\/  a  + x  /
3(x2a2+x2−1(a2+x2)32+x2a2+x2−1x2a2+x2+2x2a2+x2−2a2+x2x4)3 \left(\frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1}{x^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{2}{x^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{2 \sqrt{a^{2} + x^{2}}}{x^{4}}\right)
Simplificar
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