Derivada de x*exp(x)*(cosx+sinx)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $x e^{x} + e^{x}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $x \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(x e^{x} + e^{x}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$

2. Simplificamos:

   $\left(2 x \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(2 x \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$