Derivada de y=e^xcosx^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 e^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(- \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) e^{x}$