Derivada de y=4x/(3x²+5)²

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 4 x$ y $g{\left(x \right)} = \left(3 x^{2} + 5\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $4$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x^{2} + 5$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 5\right)$:

      1. diferenciamos $3 x^{2} + 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $6 x$

         Como resultado de: $6 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $6 x \left(6 x^{2} + 10\right)$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 24 x^{2} \left(6 x^{2} + 10\right) + 4 \left(3 x^{2} + 5\right)^{2}}{\left(3 x^{2} + 5\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{20 - 36 x^{2}}{27 x^{6} + 135 x^{4} + 225 x^{2} + 125}$

Respuesta:

$\frac{20 - 36 x^{2}}{27 x^{6} + 135 x^{4} + 225 x^{2} + 125}$