Sr Examen
Ecuación diferencial xy'=y+cos^2(y/x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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d 2/y(x)\ x*--(y(x)) = cos |----| + y(x) dx \ x /
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)}$$
x*y' = y + cos(y/x)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{du}{\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}\, du = \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} = Const - \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x - \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x + \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - 2 x \operatorname{atan}{\left(\frac{x - \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
$$y2 = y(x) = - 2 x \operatorname{atan}{\left(\frac{x + \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{du}{\cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}\, du = \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} = Const - \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x - \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x + \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - 2 x \operatorname{atan}{\left(\frac{x - \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
$$y2 = y(x) = - 2 x \operatorname{atan}{\left(\frac{x + \sqrt{C_{1}^{2} x^{2} - 2 C_{1} x + x^{2} + 1}}{C_{1} x - 1} \right)}$$
Clasificación
lie group