Ecuación diferencial y''+4y'+4y=t^(-2)*e^(-2t)

Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(t \right)} + 4 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = \frac{e^{- 2 t}}{t^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 4$$
$$q = 4$$
$$s = - \frac{e^{- 2 t}}{t^{2}}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = -2$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{1} t} C_{2} t$$
Sustituyamos $$k_{1} = -2$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{- 2 t} + C_{2} t e^{- 2 t}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(-2*t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = t*exp(-2*t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = \frac{e^{- 2 t}}{t^{2}}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$t e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} t e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{- 2 t} = \frac{e^{- 2 t}}{t^{2}}$$
o
$$t e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(- 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t}\right) \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} - 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \frac{e^{- 2 t}}{t^{2}}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{t}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{1}{t^{2}}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{1}{t}\right)\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \frac{1}{t^{2}}\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} - \log{\left(t \right)}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{1}{t}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{- 2 t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{- 2 t}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- 2 t} + C_{4} t e^{- 2 t} - e^{- 2 t} \log{\left(t \right)} - e^{- 2 t}$$
donde C3 y C4 hay son constantes