Sr Examen

Ecuación diferencial 3cos^2(x)y'-4y=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
               2    d           
-4*y(x) + 3*cos (x)*--(y(x)) = 0
                    dx          
$$- 4 y{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-4*y + 3*cos(x)^2*y' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$3 \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{- 4 y{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,

donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{4}{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{4}{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{4}{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\frac{4 \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}}}$$
Respuesta [src]
           4*tan(x)
           --------
              3    
y(x) = C1*e        
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{4 \tan{\left(x \right)}}{3}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 8.4377706621716e+19)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 6.535969162136475e-42)
(7.777777777777779, 8.388243567339303e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)