Ecuación diferencial (7x+3y)dx+(3x-5y)dy=0

Tenemos la ecuación:
$$3 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 7 x - 5 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- 5 x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} + 3 x u{\left(x \right)} + 3 x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} + 7 x = 0$$
o
$$- 5 x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 3 x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 5 x u^{2}{\left(x \right)} + 6 x u{\left(x \right)} + 7 x = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{- 5 u^{2}{\left(x \right)} + 6 u{\left(x \right)} + 7}{5 u{\left(x \right)} - 3}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{- 5 u^{2}{\left(x \right)} + 6 u{\left(x \right)} + 7}{5 u{\left(x \right)} - 3}$$
obtendremos
$$\frac{\left(5 u{\left(x \right)} - 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u^{2}{\left(x \right)} - 6 u{\left(x \right)} - 7} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(5 u{\left(x \right)} - 3\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u^{2}{\left(x \right)} - 6 u{\left(x \right)} - 7} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du \left(5 u{\left(x \right)} - 3\right)}{5 u^{2}{\left(x \right)} - 6 u{\left(x \right)} - 7} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{5 u - 3}{5 u^{2} - 6 u - 7}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(5 u^{2} - 6 u - 7 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{\frac{C_{1}}{x^{2}} + 44}}{5}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{\frac{C_{1}}{x^{2}} + 44}}{5} + \frac{3}{5}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{\frac{C_{1}}{x^{2}} + 44}}{5}\right)$$
$$y2 = y(x) = x \left(\frac{\sqrt{\frac{C_{1}}{x^{2}} + 44}}{5} + \frac{3}{5}\right)$$