Ecuación diferencial xsqrt(5+y^2)*dx+ysqrt(4+x^2)*dy=0

Tenemos la ecuación:
$$x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5} + \sqrt{x^{2} + 4} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 4}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{2} + 4}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 5}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 5}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 5} = Const - \sqrt{x^{2} + 4}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 4} + x^{2} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} - 2 C_{1} \sqrt{x^{2} + 4} + x^{2} - 1}$$