Sr Examen
Ecuación diferencial ydx=x^2(1+y^2)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2 2 d
y(x) = x *--(y(x)) + x *y (x)*--(y(x))
dx dx
$$y{\left(x \right)} = x^{2} y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y = x^2*y^2*y' + x^2*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y^{2} + 1}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} - \log{\left(y \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{C_{1} - \frac{W\left(e^{2 C_{1} - \frac{2}{x}}\right)}{2} - \frac{1}{x}}$$
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y^{2} + 1}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} - \log{\left(y \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{C_{1} - \frac{W\left(e^{2 C_{1} - \frac{2}{x}}\right)}{2} - \frac{1}{x}}$$
Respuesta
[src]
/ 2 \
| - - + 2*C1|
| x |
1 W\e /
C1 - - - --------------
x 2
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{C_{1} - \frac{W\left(e^{2 C_{1} - \frac{2}{x}}\right)}{2} - \frac{1}{x}}$$
Clasificación
factorable
separable
lie group
separable Integral