Sr Examen
Ecuación diferencial ydx+(x+2)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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d d 2*--(y(x)) + x*--(y(x)) + y(x) = 0 dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y' + y + 2*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 2}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x + 2 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x + 2}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 2}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x + 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x + 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const - \log{\left(x + 2 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x + 2}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
linear coefficients
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
linear coefficients Integral