Sr Examen

Ecuación diferencial (x^2+1)dy=dx

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
 2 d          d           
x *--(y(x)) + --(y(x)) = 1
   dx         dx          
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
x^2*y' + y' = 1
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$-1$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- dy = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- y = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Respuesta [src]
y(x) = C1 + atan(x)
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Clasificación
nth algebraic
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
1st power series
lie group
nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters
nth algebraic Integral
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters Integral